一直以来都不能非常清楚地记住浮点数的表示方式，这段时间开始重读 CSAPP 的第二章中浮点数表示的部分，大致上弄清楚了 IEEE 浮点数的表示方式。
简单介绍一下 IEEE 浮点数的表示方式，细节部分可以参考 CSAPP 和 维基
二进制小数表示
首先理解一下十进制小数的表示方式，我们以下面这种方式表示十进制小数：
$$
d_{n}d_{n-1}…d_{1}d_{0}.d_{-1}…d_{m}
$$
表示的值为：
$$
\sum_{i = m}^{n} 10^{i}d_{i}
$$
类似地，二进制小数的表示方式：
$$
b_{n}b_{n-1}…b_{1}b_{0}.b_{-1}…b_{m}
$$
$$
\sum_{i = m}^{n} 2^{i}b_{i}
$$
例如二进制小数
$$
11.01_2 = 1 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2}
= 2 + 1 + 0 + 0.25
= 3.25
$$
现在考虑如何对这种二进制小数进行编码，一种可行的方式是定点小数。即将小数点的位置固定。例如使用 16 位二进制数来编码定点小数。可以做如下规定：
- 第 15 位为符号位。
- 第 14 ~ 9 位表示小数点前的数
- 第 8 ~ 0 位表示小数点后的数
那么，$11.01$ 可以编码为 $0 000011 010000000$。
这种表示方式的优点是比较简单，但是能够表示的小数的范围就十分的小。不考虑小数点后的数字，这种方式能够表示的整数范围就只能是 $-2^{6}+1 \sim 2^{6} - 1$。
于是，考虑到不去固定小数点的位置。而是根据当前的数字来确定小数点的具体位置。这样，就有了一种新的表示小数的方式，即浮点数。以下面这种方式表示（不考虑编码方式）：
$$
V = (-1)^s \times M \times 2^{E}
$$
其中，$s$ 表示符号位，$E$ 表示阶码，$M$ 表示尾数。
通过这种方式，就有了 IEEE 754 浮点数规范。其具体定义了浮点数的位级编码规则。
IEEE 浮点数表示
首先， IEEE 将浮点数编码为 32 位或者 64 位。其中，32 位的规则如下：
- 第 32 位表示符号
- 第 31 ~ 23 位表示的值为 $E$，其位级表示记为 $exp$
- 第 22 ~ 0 位表示的值 $M$, 其位级表示记为 $frac$
64 位编码表示中，$exp$ 长度为 11，$frac$ 长度为 52。与 32 位类似。
根据 $exp$ 和 $frac$ 的表示的不同，IEEE 浮点数规范将浮点数分为 4 类：
- 规格化数： $exp$ 不为全 0 和全 1
- 非规格化数： $exp$ 为全 0
- 无穷大： $exp$ 为全 1 且 $frac$ 为全 0
- $NAN$： $exp$ 为全 1 且 $frac$ 不为全 0
规格化数
首先 $E = e - Bias$, 其中 $e$ 为 $exp$ 所表示的无符号数。$Bias$ 的值为 $2^{k-1}-1$，$k$ 为 $frac$ 部分的长度。例如，32 位编码时 $k$ 的值为 $8$，于是 $Bias$ 的值为 $127$，最终， $E$ 的范围为 $-126 \sim 127$。
其次 $M = 1 + f$，其中 $f$ 为 $0.f_{n}f_{n-1}…f_{0}$ 所表示的值。这里，通过将 $f$ 加 1 获得了一个额外的表示精度位。
非规格化数
其 $E = 1 - Bias$，而 $M = f$。
根据该定义，当 $frac$ 为全 0 时， $M = 0$。于是：
$$
V = (-1)^s \times E \times 0 = 0
$$
根据 $s$ 的值的不同，得到了表示 0 的两种方式，记为 $+0$ 和 $-0$。
无穷大
根据符号位分为 $+\infty$ 和 $-\infty$。
总结
一般来说，非规格化数用于表示 $0$ 和非常接近 $0$ 的数。而相对其他能正常表示的数则用规格化数表示，溢出的值则用无穷大表示。当溢出的小数部分为非 $0$ 即可用 $NAN$（Not A Number)表示。当一些运算的结果不是实数或者无穷时，就会返回 $NAN$，比如 $\sqrt{-1}$。
写在最后
写技术文章需要严谨、正确，可能我比没有做到。所有如果有疑惑的话，可以学习一下 CSAPP 中和此有关的内容。